如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，′E为DD′的中点，BD′为正方体的对角线，

解题思路：（1）连接BD，交AC于O，由已知得OE∥BD′，由此能证明BD′∥平面ACE．
（2）截去的几何体为三棱锥，以△ADC为底面，则DE为三棱锥的高，求出正方体的体积和截去的三棱锥的体积，由此能求出剩下的几何体的体积．

（1）证明：连接BD，交AC于O，
在△ACE中，E，O分别为DD′和AC的中点，
∴OE∥BD′，
又∵BD′不包含于平面ACE，OE⊂平面ACE，
∴BD′∥平面ACE．
（2）截去的几何体为三棱锥，若以△ADC为底面，则DE为三棱锥的高，
∵正方体的棱长为a，∴正方体的体积为V1＝a3，
截去的三棱锥的体积V₂=
1
3Sh=
1
3•
1
2a2•
1
2a=
1
12a3，
∴剩下的几何体的体积V₃=V₁-V₂=a3−
1
12a3=
11
12a3．

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．