已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，

已知椭圆
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，把x=c代入椭圆的方程得：
c2
a2+
y2
b2＝1得到：y=±
b2
a
A（c，
b2
a），B（-c，-
b2
a）
∵∠OBF=∠AOF-∠OFB∴tan∠AOF＝
b2
ac tan∠OFB＝

b2
a
2c＝
b2
2ac
tanα=tan∠OFB=

b2
ac−
b2
2ac
1+
b4
2a2c2＝
e(1−e2)
1+e4
∵α∈[
π
6，
π
4]
∴

3
3≤tanα≤1
即

3
3≤
e(1−e2)
1+e4≤1
解得：

2
2≤e≤
3−1
故选：A

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查的知识点：点的坐标在题中的应用，两角差的正切值，点的斜率公式及相关的运算问题．