如图，已知直线y=[1/2]x与双曲线y=[k/x]（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）∵直线y=[1/2]x与双曲线y=[k/x]（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4，
∴y=[1/2]×4=2，
∴A（4，2），
∴k=4×2=8；
∵反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∴B（-4，-2）；

（2）如图，∵由（1）知k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=[8/x]，
∵C点的纵坐标为8，
∴8=[8/x]，解得x=1，
∴C（1，8），
分别过点C、A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，连接OC，
∵A（4，2），C（1，8）
∴CD=8，AE=2，DE=4-1=3，
∴S_△AOC=S_△OCD+S_梯形AEDC-S_△AOE，即[1/2]×8+[1/2]（8+2）×3-[1/2]×8=15．

（3）8个；
∵A（4，2），B（-4，-2），
∴AB=
(4+4)2+(2+2)2=4
5，
当点P在x轴上时，设P（x，0），
若AP=AB，即
(4−x)2+22=4
5，解得x=4±2
19，
∴P₁（4+2