问几道平面几何题（斯特瓦尔特定理的）

问几道平面几何题（斯特瓦尔特定理的）
在三角形ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点P1,P2……P100,记m(i)=AP(i)^2+BP(i)·P(i)C,求m(1)+ ……m(100)
风见月 1年前 已收到4个回答 举报
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真的好爱 幼苗

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由斯特瓦尔特定理,
BC*m(i)
=[AP(i)^2+BP(i)·P(i)C]*BC
=AB^2*P(i)C^2+AC^2*BP(i)^2
=4(P(i)C+BP(i))
=4BC 对任意i=1,2,...100 都成立,
所以 m(i)=4,m(1)+ ……m(100)=400.

1年前

5

cncdwu 幼苗

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缺条件，应该是101分点吧。

1年前

2

走后 幼苗

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对任意一点Pi
在三角形ABPi和ACPi中使用余弦定理得
APi^2+BPi^2-AB^2=2APi*BPicosAPi^2+CPi^2-AC^2=2APi*CPicos且cos两式相除得
CPi(APi^2+BPi^2-AB^2)=-BPi(APi^2+CPi^2-AC^2)
化简得...

1年前

2

chengeorge 幼苗

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由 斯特瓦尔特定理 得
AB^2*P(i)C/BC + AC^2*BP(i)=m(i)
又 AB=BC=2 于是 m（i）=4/BC*(BP(I)+P(i)C)=4/BC*BC=4
于是 m（1）+...+m(100)=400

1年前

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