已知O为三角形ABC的内心,过B且切直线CO于O作圆,又过C且切直线BO于O作圆,求证：以上所作两圆与三角形ABC

∵O为三角形ABC的内心,所以△BOC中∠OBC=∠B/2,∠OCB=∠C/2,
∠BOC=π-∠B/2-∠C/2=π/2+∠A/2.
记过B且切直线CO于O的圆为⊙P,连接PB、PO,
∵CO是⊙P的切线,O是切点,∴∠POC=π/2,那么∠BOP=∠BOC-∠POC=∠A/2；
∵PO=PB,∴圆心角∠BPO=π-2∠BOP=π-∠A.
记过C且切直线BO于O的圆为⊙Q,⊙P与⊙Q除公共点O外另一公共点记作D,
连接DB、DO、DC,
在⊙P中,圆周角∠BDO=∠BPO/2=(π-∠A)/2.
同样的证法可得⊙Q中的圆周角∠CDO=(π-∠A)/2,
∴∠BDC=∠BDO+∠CDO=π-∠A
这就证明了D点必在△ABC的外接圆上,
换言之,⊙P、⊙Q与△ABC的外接圆共点.