（2003•朝阳区一模）已知函数f（x）=x+2（2x+1）（x≥0）．
（2003•朝阳区一模）已知函数f（x）=x+2（
+1）（x≥0）．
（Ⅰ）求f（x）的反函数，并指出其定义域；
（Ⅱ）设数列{an}（an＞0）的前n项和为Sn（n∈N），若对于所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn-1），且a1=2，求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）令bn=
(n∈N)，求
(b1+b2+…+bn)．
| 2x |
（Ⅰ）求f（x）的反函数，并指出其定义域；
（Ⅱ）设数列{an}（an＞0）的前n项和为Sn（n∈N），若对于所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn-1），且a1=2，求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）令bn=
| (an+1−an)2 |
| 2anan+1 |
| ： | lim n→∞ |
赞 thed123 春芽
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解题思路：（Ⅰ）设y=f（x），通过解方程可求得x，然后交换变量字母，注意反函数定义域的求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn＝(
+
)2，易知Sn＞0，从而得
＝
+
，可判断数列{
}是等差数列，公差为
，
＝
＝
，由此可求Sn，再根据an＝
，可求得an；
（Ⅲ）代入an可得bn＝
−
，利用裂项相消法可求得b1+b2+…+bn，然后求极限即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn＝(
| Sn−1 |
| 2 |
| Sn |
| Sn−1 |
| 2 |
| Sn |
| 2 |
| S1 |
| a1 |
| 2 |
|
（Ⅲ）代入an可得bn＝
| 1 |
| 2n−1 |
| 1 |
| 2n+1 |
(I)设y＝f(x)，y＝(
x)2+2
2
x+(
2)2＝(
x+
2)2，(x≥0)．
∵x≥0，∴y≥2．∴
y＝
x+
2．∴x＝(
点评：
本题考点： 数列的极限；数列与函数的综合．
考点点评： 本题考查反函数的求法、由递推式求数列通项及数列极限，考查学生的运算求解能力．
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