若A等于α乘以β的转置加上β乘以α的转置,其中α,β是三维正交向量 证明：|A|=0.α+β,α-β是A的特

若A等于α乘以β的转置加上β乘以α的转置,其中α,β是三维正交向量 证明：|A|=0.α+β,α-β是A的特
若A等于α乘以β的转置加上β乘以α的转置，其中α，β是三维正交向量 证明：|A|=0。α+β，α-β是A的特征向量。A与对角阵相似，求对角阵
城市猎人pall 1年前 已收到2个回答 举报
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ww传奇01 幼苗

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(1) 因为 r(A) = r(αβ'+βα')

1年前 追问

3

城市猎人pall 举报

是单位向量

举报 ww传奇01

这就对了 此时 β'β =1, α'α = 1 所以 A(α+β) = αβ'β + βα'α = A(α+β) = α + β, 故 α + β是A的属于特征值 1 的特征向量. 同理可得 A(α-β) = -(α-β) , 故 α-β 是A的属于特征值 -1 的特征向量. (3)由上结论知3阶对称矩阵A有3个不同的特征值, 故A与对角矩阵diag(0,1,-1)相似

graceyp 幼苗

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第一问上面证了
第二问
A(α+β) = αβ'β + βα'α = λ1(α+β)
A(α-β) = βα'α - αβ'β = λ2(α-β)
代入α'α = |α| ，β'β = |β|
所以|α| = |β| = λ1,-|α| = -|β| = λ2。
又因为|A| = 0,所以λ3 = 0，于是可以得到对角矩阵∧

1年前

2
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