(2014•南长区二模)如图,在平面直角坐标系中,点A(4,0)、B(0,3),动点P、Q同时从原点O出发,其中点P沿线

(2014•南长区二模)如图,在平面直角坐标系中,点A(4,0)、B(0,3),动点P、Q同时从原点O出发,其中点P沿线段OA向终点A运动,速度为
3
单位/秒;点Q沿线段OB向终点B运动,速度为1单位/秒,当其中一个点到终点时另一个点也随之停止,设运动时间为t秒.当以PQ为直径的圆与线段AB有两个公共点时,t的取值范围是
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Emoda 幼苗

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解题思路:以PQ为直径作⊙M,过点M作MH⊥AB于H,过点Q作QD⊥AB于D,过点P作PC⊥AB于C,易得QD∥MH∥PC,MQ=MP.根据平行线分线段成比例得CH=DH,再根据梯形的中位线定理可得MH=[1/2](QD+PC).然后利用三角函数将DQ、PC用t的代数式表示,进而用t的代数式表示出MH,由⊙M与线段AB有两个公共点可得MH<
1
2
PQ
,从而得到t的一个范围,再由其中一个点到终点时另一个点也随之停止可得t的又一个取值范围,就可解决问题.

以PQ为直径作⊙M,过点M作MH⊥AB于H,
过点Q作QD⊥AB于D,过点P作PC⊥AB于C,如图所示.
则有QD∥MH∥PC,MQ=MP.
根据平行线分线段成比例得:CH=DH.
由梯形中位线定理可得:MH=[1/2](QD+PC).
由题可得:OA=4,OB=3,OP=
3t,OQ=t.
则有BQ=3-t,AP=4-
3t.
∵∠AOB=90°,∴AB=5,PQ=
t2+3t2=2t.
由sin∠OBA=[OA/AB]=[QD/BQ]得:QD=[4/5](3-t)=[12−4t/5].
由sin∠OAB=[PC/PA]=[OB/AB]得:PC=[3/5](4-
3t)=
12−3
3t
5.
∴MH=[1/2](

点评:
本题考点: 圆的综合题;解一元一次不等式组;勾股定理;直线与圆的位置关系;平行线分线段成比例;锐角三角函数的定义.

考点点评: 本题考查了直线与圆的位置关系、平行线分线段成比例、锐角三角函数的定义、勾股定理、解不等式组等知识,而利用梯形中位线定理表示出圆心到直线的距离是解决本题的关键.

1年前

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