△ABC,三内角A,B,C成等差数列.若根号3sinA+sin(C-π/6)+a=0有两解,求a的范围

三内角A,B,C成等差数列,故A+C=2B,
而三角形内角和为180度,故A+B+C=180,
即3B=180,所以角B=60度=π/3,A+C=120度=2π/3,
所以C-π/6=π/2 -A,即sin(C-π/6)=sin(π/2 -A)=cosA,
故√3sinA+sin(C-π/6)+a=0可转化为,
√3sinA+cosA+a=0
所以2sin(A+π/6)+a=0
即此方程有两解,
而角A的范围是(0,2π/3),
故A+π/6在π/6到5π/6的范围内,即sin(A+π/6)的范围是(0.5,1]
而2sin(A+π/6)的范围是(1,2]
所以当a在[-2,-1)的范围内时,方程有解
而当a= -2时,方程只有唯一解A=π/3,故舍去,
其余时刻由于公式sinx=sin(π/2-x),方程均有两解
所以a的范围是(-2,-1)