用数学分析的知识求定积分积分（0到1）xlnx/(1-x) dx实际就是常义Riemann积分

hithankyou 1年前 已收到2个回答 举报
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来今雨轩2002 春芽

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作变量替换x＝1－t,原积分化为：积分（0到1）（1－t)ln(1-t)/tdt,然后把ln(1-t)写为幂级数,原积分化为：－积分（从0到1）求和（n从1到无穷）t^(n-1)/n-求和(n从1到无穷)t^n/n dt＝－求和(n从1到无穷)1/n^2+求和（n从1到无穷）1/n(n+1)＝1－pi^2/6.可能中间有些正负号不太准确,你自己好好看看.另外就是要验证积分和求和可以交换顺序

1年前 追问

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hithankyou 举报

请问为什么可以逐项求积分？

举报 来今雨轩2002

你先不分解为两个级数的差，而是考虑求和(从1到无穷)(t^(n-1)-t^n)/n，用导数容易算出求和里面的函数在t＝（n－1）/n达到最大值，最大值不超过1/n^2，weierstrass判别法知道一致收敛，因此可以交换顺序。

023721 幼苗

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很不错

1年前

1
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你能帮帮他们吗

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