如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，AD为∠BAC平分线交BC于E，BD⊥AD．求证：AE=2

解题思路：延长BD和AC交于F，求出∠CAE=⊂CBF，AC=BC，证△EAC≌△FBC，△BAD≌△FAD，推出AE=BF，BD=DF，即可得出答案．

证明：延长BD和AC交于F，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°=∠BAC，
∴AC=BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCF=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵BD⊥AD，
∴∠ACE=BDE=90°，
∵∠AEC=∠BED，
∴根据三角形内角和定理得：∠DBE=∠CAE，
在△ACE和△BCF中，


∠EAC＝∠CBF
AC＝BC
∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
在△BAD和△FAD中，


∠BAD＝∠CAD
AD＝AD
∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴BD=DF，
即BF=2BD，
∴AE=2BD．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出AE=BF和BD=DF，题目比较好，难度适中．

在AD上取点F使DF=DB
角D为90°
角DFB=角DBF=45°
角DBE=角CAE=角EBF
角FBA=角FAB
所以FA=FB
所以AE=2BD
明白了吗？希望对你有帮助

延长BD AC交于点F,证△ADB与△ADF全等，则BD=DF,据角度关系，∠EAC=∠CBF,再证△AEC与△BFC全等，则AE=BF=2BD

证明：延长BD与AC的延长线交与F，
易证△ABF等腰三角形，BF=2BD，
再证△BCF全等于△ACE，
可得AE=BF=2BD