2010全国初中数学联赛最后一道

y=x+√(100-mx)
=-(100-mx)/m + √(100-mx) +100/m
y可以看成√(100-mx)的二次函数
当√(100-mx)=m/2时y取得最大值
y(max)=m/4+100/m=(m^2+400)/4m
首先4可以整除m^2+400
设m=2n
y(max)=(n^2+100)/2n
那么2又可以整除n^2+100
设n=2k
y(max)=(k^2+25)/k
所以k可以整除25
k=1,5或25
对应的m=4,20或100
√(100-mx)=m/2
0≤√(100-mx)

∵y=x+√（100－mx） （1） （用√表示根号）
∴100－mx≥0
∵m为正整数
∴x≤100／m
将（1）移项得 y－x＝√（100－mx）
两边平方并整理关于x的一元二次方程得
x²＋（m－2y）x＋y²－100＝0 （2）
有条件知（2）必有解