在平面直角坐标系xOy中，Pn（n，n2）（n∈N+）是抛物线y=x2上的点，△OPnPn+1的面积为Sn．

解题思路：（1）由题意利用直线所过的两个点写出直线的方程，要求三角形的面积，有面积公式，应先求出线段P_nP_n+1的长度，再有点到直线的距离公式求出距离，利用S△＝

1

2

×底×高公式求出即可；
（2）有（1）可知Sn=

n(n+1)

2

的式子，有式子的特点选择裂项相消求和即可；
（3）有S_n，应该先求出S₁，S₂…S，在利用累加法求证结论即可．

（1）依题意，P_n+1（n+1，（n+1）²），直线P_nP_n+1的方程为
y−n2
x−n＝
(n+1)2−n2
(n+1)−n，
即（2n+1）x-y-n（n+1）=0，PnPn+1＝
[(n+1)−n]2+[(n+1)2−n2]2=
4n2+4n+2，
点O到直线P_nP_n+1的距离d＝
n(n+1)

4n2+4n+2，
所以Sn＝
1
2×PnPn+1×d＝
n(n+1)
2．
（2）[1
Sn＝
2
n(n+1)＝
2/n−
2
n+1]，
[1
S1+
1
S2++
1
Sn＝
2/1−
2
n+1＝
2n
n+1]，
（3）因为

点评：
本题考点： 数列的求和；数列与函数的综合．

考点点评： 此题考查了求直线的方程的两点式点到直线的距离公式，三角形的面积公式及数列的裂项相消法求和，还考查了数列的累加法．