设F1,F2分别是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点,过F1做斜率为1的直线与椭圆C相交于A,B两点,

设A(x1,y1),B(x2,y2),左焦点(-c,0)
则直线l：y=x+c
由题意得
|AF2|+|BF2|=2|AB|
∵ |AF1|+|AF2|=2a.①
|BF1|+|BF2|=2a.②
①+②得
(|AF1|+|BF1|)+(|AF2|+|BF2|)=4a
即|AB|+2|AB|=4a
|AB|=4a/3
根据焦半径公式有
|AF1|=a+ex1
|BF1|=a+ex2
∴|AB|=|AF1|+|BF1|=2a+e(x1+x2)=4a/3
∴e(x1+x2)=-2a/3
联立椭圆和直线
y=x+c
x²/a² + y²/b² =1,得
(a²+b²)x²+2a²c+a²c²-a²b²=0
把b²=a²-c²代入,得
(2a²-c²)x²+2a²cx+(2c²-a²)a²=0
∴e(x1+x2)=e[-2a²c/(2a²-c²)]=-2a/3
e(ac)/(2a²-c²)=1/3 (左右约去-2a)
e(c/a)/[2-(c/a)²]=1/3 (上下同时除以a²)
e²/(2-e²)=1/3
e=√2/2

圆周率：3.14159......6286208998628......31725359......