52•32n+1•2n-3n•6n+2能被13整除吗？

解题思路：先逆用同底数幂的乘法运算性质将3²ⁿ⁺¹与6ⁿ⁺²分别变形为3²ⁿ•3及6ⁿ•6²，再逆用幂的乘方与积的乘方运算性质得出3²ⁿ•2ⁿ=（3²）ⁿ•2ⁿ=9ⁿ•2ⁿ=18ⁿ，3ⁿ•6ⁿ=（3×6）ⁿ=18ⁿ，然后合并同类项得出原式为13×3•18ⁿ，从而判定5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被13整除．

5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被13整除．理由如下：
∵5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²
=5²•（3²ⁿ•3）•2ⁿ-3ⁿ•（6ⁿ•6²）
=75•3²ⁿ•2ⁿ-36•3ⁿ•6ⁿ
=75•18ⁿ-36•18ⁿ
=39•18ⁿ
=13×3•18ⁿ，
又∵3•18ⁿ是整数，
∴5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被13整除．

点评：
本题考点： 幂的乘方与积的乘方．

考点点评： 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式的乘法，合并同类项等知识，难度适中，熟练掌握运算性质与法则是解题的关键．

得以求证

5的2次方乘3的（2n＋1）次方乘2的n次方减3的n次方乘6的（n＋2）次方
=5^2*3^（2n＋1）*2^n-3^n*6^（n＋2）
=25*3^2n*3*2^n-3^n*6^n*6^2
=75*3^2n*2^n-3^n*2^n*3^n*36
=(75-36)*3^2n*2^n
=39*3^2n*2^n
5的2次方乘3的（2n＋1）次方乘2的n次...

5的2次方乘3的（2n＋1）次方乘2的n次方减3的n次方乘6的（n＋2）次方
=5^2*3^（2n＋1）*2^n-3^n*6^（n＋2）
=25*3^2n*3*2^n-3^n*6^n*6^2
=75*3^2n*2^n-3^n*2^n*3^n*36
=(75-36)*3^2n*2^n
=39*3^2n*2^n
5的2次方乘3的（2n＋1）次方乘2的n次...