已知数列{an}满足anan-1=n+1n-1(n∈N*，n＞1)，a1=2

已知数列{an}满足
an
an-1
=
n+1
n-1
(n∈N*，n＞1)，a1=2
（I）求证：数列{an}的通项公式为an=n（n+1）
（II）求数列{
1
an
}的前n项和Tn；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|＜
1
10
成立．若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．
晕409 1年前 已收到1个回答 举报
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zq_rebecca 幼苗

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解题思路：（I）由3Sn=（n+2）an，得3Sn-1=（n+1）an-1（n≥2），二式相减得
an
an-1
=
n+1
n-1
(n≥2)，然后利用叠乘法可求出数列{an}的通项公式，从而证得结论；
（II）将[1an=
1
n(n+1)
裂项得
1/n
-
1
n+1]，然后进行求和即可；
（III）令|Tn-1|=|
n
n+1
-1|=
1
n+1
＜
1
10
，可求出满足条件的n，从而得到集合M．

证明：（I）由3Sn=（n+2）an
得3Sn-1=（n+1）an-1（n≥2）
二式相减得3an=（n+2）an-（n+1）an-1
∴（n-1）an=（n+1）an-1
∴
an
an-1=
n+1
n-1(n≥2)
∴
an-1
an-2=
n
n-2；…；
a3
a2=
4
2；
a2
a1=
3
1；a1=2
叠乘得：an=n（n+1）（n∈N*）（7分）
（II）∵[1
an=
1
n(n+1)=
1/n-
1
n+1]
∴Tn=1-
1
2+
1
2-
1
3+
1
3-
1
4+…+
1
n-
1
n+1=1-
1
n+1=
n
n+1（10分）
（III）令|Tn-1|=|
n
n+1-1|=
1
n+1＜
1
10
得：n+1＞10，n＞9
故满足条件的M存在，M={n∈N|n＞9，n∈N*}是一个这样的集合（12分）

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了数列与不等式的综合，以及裂项求和法的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．

1年前

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