如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，

解题思路：根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．

‚①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中，


AD＝AF
∠DAE＝∠FAE＝45°
AE＝AE，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABE=∠C=45°．
∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，
∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，
∴∠BAE与∠CAD不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；

③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD与△ABF中，


AC＝AB
∠CAD＝∠BAF
AD＝AF，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，③正确；

④由③知△ACD≌△ABF，
∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE²+BF²=EF²，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE²+DC²=DE²，④正确．
故答案为①③④．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定．

考点点评： 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．