设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a属于S,b属于S,则ab属于S,且a+b属于S；②对任意一个集合中的有理数r,三
设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a属于S,b属于S,则ab属于S,且a+b属于S；②对任意一个集合中的有理数r,三个关系——r属于S,-r属于S,r=0中,有且只有一个成立.证明：S是由全体正有理数组成的集合.
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1,证明：设任意的r∈Q,r≠0,由②知r∈S,或,-r∈S之一成立.
再由①,若r∈S,则r²∈S；若-r∈S,则
r²=(-r)*(-r)∈S.
总之,r²∈S
取r=1,则1∈S.再由①,2=1+1∈S,3=1+2∈S,…,可知全体正整数都属于S.
设p、q∈S,由①pq∈S,又由前证知1/q²∈S
所以p/q=pq*1/q²∈S.
因此,S含有全体正有理数.
再由①知,0及全体负有理数不属于S.
即S是由全体正有理数组成的集合.
再由①,若r∈S,则r²∈S；若-r∈S,则
r²=(-r)*(-r)∈S.
总之,r²∈S
取r=1,则1∈S.再由①,2=1+1∈S,3=1+2∈S,…,可知全体正整数都属于S.
设p、q∈S,由①pq∈S,又由前证知1/q²∈S
所以p/q=pq*1/q²∈S.
因此,S含有全体正有理数.
再由①知,0及全体负有理数不属于S.
即S是由全体正有理数组成的集合.
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1年前3个回答
你能帮帮他们吗