证明不存在边长和面积都是正整数,且周长等于2005的等腰三角形

设：存在边长和面积都是正整数,且周长等于2005的等腰三角形,腰为x,底为2y,
则底边上的高为根号（x²-y²),
所以2x+2y=2005(可以确定2y是奇数）,
y*根号（x²-y²)为正整数,
这样,（x²-y²)必须是完全平方数,
因为x=(2005-2y)/2,
所以[(2005-2y)/2]²-y²是完全平方数,、
而[(2005-2y)/2]²-y²=2005²-8020y=2005²-4010*2y=2005（2005-2*2y).
我们发现2005中有因数5,而（2005-2*2y）中没有因数5,
说明该数含有因数5不能完全平方,
这与假设矛盾,
所以假设错误,也就是不存在边长和面积都是正整数,且周长等于2005的等腰三角形

设存在这样的等腰三角形：腰长m.底长n,则2m+n＝2005，n是奇数。
2S＝n√[m²-（n/2）²]→→4n²m²-16S²＝n^4 偶数＝奇数。 不可。
∴不存在这样的等腰三角形。