（2008•鄂州）如图，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．

解题思路：（1）过D点作DF⊥AE于F点．则△DEF是等腰直角三角形，根据△ADP的面积就可以求出DF，则根据勾股定理得到DE．
（2）△ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似，应分Rt△ADP∽Rt△PCQ和Rt△ADP∽Rt△PCQ两种情况进行讨论．根据相似三角形的对应边的比相等，得到BQ的长．

（1）如图1．过D点作DF⊥AE于F点．
在Rt△ADP中，AP＝
AD2+DP2＝

5
2（1分）
又∵S_△ADP=[1/2]AD•DP=[1/2]AP•DF
∴DF＝

5
5（2分）
∵

AD的度数为90°
∴∠DEA=45°
∴DE＝
2DF＝

10
5（4分）


（2）如图2．
当Rt△ADP∽Rt△QCP时有[AD/QC＝
DP
CP]得：QC=1．
即点Q与点B重合
∴BQ=0（5分）
如图3，当Rt△ADP∽Rt△PCQ时，有[AD/PC＝
PD
QC]得QC＝
1
4
即BQ=BC-CQ=[3/4]（7分）
∴当BQ=0或BQ＝
3
4时，三角形ADP与以点Q，C，P为顶点的三角形相似．（8分）

点评：
本题考点： 相似三角形的判定；勾股定理；正多边形和圆．

考点点评： 此题主要考查相似三角形的判定方法，勾股定理及正多边形与圆的关系等知识点的综合运用．