设a,b,c,d∈Z,且m=a^2+b^2,n=c^2+d^2,求证m·n也是两个整数的平方和

咸糊涂 1年前已收到3个回答举报

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设a,b,c,d∈Z,且m=a^2+b^2,n=c^2+d^2,求证m·n也是两个整数的平方和
证明：
m*n=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)
=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2
=a^2c^2+2abcd+b^2c^2+a^2d^2-2abcd+b^2d^2
=(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)+(a^2d^2-2abcd+b^2c^2)
=(ac+bd)^2+（ad-bc)^2

1年前

yanxjuny 幼苗

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可假设m=M+x，n=N+y；其中M、N∈Z，x、y∈[0，1)。
∵a∈Z，∴a²∈Z，同理可知：b²∈Z，c²∈Z，d²∈Z，那么，可以做一个适当的简化，即令A=a²，B=b²，C=c²，D=d²。那么mn=(A+B)(C+D)=AC+BC+AD+BD，如a∈Z，可知A∈Z一样，同理可得AC、BC、AD、BD均为...

1年前

安天使幼苗

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证明：
m*n
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=a^2*c^2+a^2*d^2+b^2*c^2+b^2*d^2
=(ac)^2+(bd)^2-2abcd+(ad)^2+(bc)^2+2abcd
=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2
证毕。

1年前

你能帮帮他们吗

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