已知a=∫π20cosxdx，二项式（2x2+[a/x]）n的展开式的各项系数和为243

解题思路：（Ⅰ）求定积分可得a=1，二项式(2x2+

a

x

)n，即(2x2+

1

x

)n，令x=1可得它的展开式的各项系数和为243=3ⁿ，求得n的值，可得该二项展开式的二项式系数和2ⁿ的值．
（Ⅱ）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x⁴项的系数．

（Ⅰ）因为 a=
∫
π
20cosxdx=sinx
|
π
20=sin[π/2]-sin0=1，
∴二项式(2x2+
a
x)n，即(2x2+
1
x)n，令x=1可得它的展开式的各项系数和为243，
故有3ⁿ=243=3⁵，∴n=5，该二项展开式的二项式系数和2⁵=32．
（Ⅱ）(2x2+
1
x)5的展开式的通项是Tr+1＝
Cr5(2x2)5−r(
1
x)r＝
Cr525−rx10−3r(r＝0，1，2，3，4，5)．
根据题意，得10-3r=4，求得r=2，
因此，该二项展开式中x⁴项的系数是
C2525−2＝80．

点评：
本题考点： 二项式系数的性质．

考点点评： 本题主要考查求定积分，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题．