设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则（ ）
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则（ ）
A. r＞r1
B. r＜r1
C. r=r1
D. r与r1的关系依C而定
A. r＞r1
B. r＜r1
C. r=r1
D. r与r1的关系依C而定
赞 luoluo61 幼苗
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解题思路：此题考查矩阵秩的性质的运用．如果B可逆，则r（AB）=r（A）．
∵C是n阶可逆矩阵
∴C可以表示成若干个初等矩阵之积，即
C=P1P2…Ps，其中Pi（i=1，2，…，s）均为初等矩阵．
而：B=AC，
∴B=AP1P2…Ps，
即B是A经过s次初等列变换后得到的，又初等变换不改变矩阵的秩
∴r（B）=r（AC）=r（A）=r1
故选：C．
点评：
本题考点： 矩阵的秩的性质；可逆矩阵的性质．
考点点评： 矩阵秩的常用性质，要熟练掌握．常见的有：r（Am×n）≤minm，n；r（AB）≤min{r（A），r（B）}；r（A）=r（AT）等．
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