如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那
如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC＞∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE丄CD,垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C．
①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.
图图
（1）如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC＞∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE丄CD,垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C．
①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.
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⑴在Rt △ABC中,∠ ACB＝90°,CD是AB上的中线,∴ ,∴CD=BD．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD,∴∠BEC＝90°,∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似点．
⑵①作图略．（根据画角等的方法,画出两个角就行了）
作法如下：（i）在∠ABC内,作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内,作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心,∴ ,．
∵P为△ABC的自相似点,∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A,∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A,
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴ ．∴该三角形三个内角的度数分别为720/7 、180/7 、360/7 ．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD,∴∠BEC＝90°,∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似点．
⑵①作图略．（根据画角等的方法,画出两个角就行了）
作法如下：（i）在∠ABC内,作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内,作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心,∴ ,．
∵P为△ABC的自相似点,∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A,∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A,
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴ ．∴该三角形三个内角的度数分别为720/7 、180/7 、360/7 ．
1年前
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