（2009•静安区一模）已知函数f（x）=log2x+2a+1x−3a+1．

（1）[x+2a+1/x−3a+1＞0，
所以当a＞0时，定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）
当a＜0时，定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
当a=0时，定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）（4分）
（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，
当且仅当-2a-1=-（3a-1）⇔a=2，
此时，f(x)＝log2
x+5
x−5]．（6分）
对于定义域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）内任意x，-x∈D，
f（-x）=log₂[−x+5/−x−5]=log₂[x−5/x+5]=-f（x），所以f（x）为奇函数；（8分）
当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；
由于f（x）为奇函数，所以在（-∞，-5）内单调递减；（10分）
（3）f−1(x)＝
5(2x+1)
2x−1，x≠0 （12分）
方程f^-1（x）=5k⋅2^x-5k即
2x+1
2x−1＝k(2x−1)，令2^x=t，则t＞0且t≠1，得k＝
t+1
(t−1)2，
又
t+1
(t−1)2∈(0，+∞)，所以当k＞0，f^-1（x）=5k⋅2^x-5k解．（14分）

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断；对数函数的定义域；反函数．

考点点评： 考查了分类讨论的思想方法，换元的思想方法；函数奇偶性的判定；特别注意换元后，新变量的取值范围，属难题．