已知f（x）=3-4x+2xln2，数列{an}满足：−12＜a1＜0，21+an+1＝f(an)，（n∈N*）．

解题思路：（1）①当n=1时，已知−

1

2

＜a1＜0成立；②假设n=k（n∈N^*）时，不等式−

1

2

＜ak＜0成立．要证−

1

2

＜ak+1＜0成立，只需

2

＜21+an+1＜2，因为21+ak+1＝f(ak)，所以只需

2

＜f(ak)＜2．利用导数能够得到当n=k+1时，−

1

2

＜an＜0（n∈N^*）也成立．由①，②可知，−

1

2

＜an＜0对于任意n∈N^*都成立．
（2）21+ak+1−21+ak＝f(an)−21+ak．令g（x）=f（x）-2^1+x，则g′（x）=f′（x）-2^1+xln2=（-4^x-2^x+1）ln4，因为-t²-t+1=0时，t＝

−1± 5

2

，所以t＜

−1− 5

2

，或t＞

−1+ 5

2

时，-t²-t+1＜0．由此能够比较a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小．

（1）证明：①当n=1时，已知−
1
2＜a1＜0成立；
②假设n=k（n∈N^*）时，不等式−
1
2＜ak＜0成立．
要证−
1
2＜ak+1＜0成立，只需
2＜21+an+1＜2，
∵21+ak+1＝f(ak)，
∴只需
2＜f(ak)＜2．
又f′（x）=-4^xln4+2ln2=（1-4^x）ln4
当−
1
2＜x＜0时，0＜1−4x＜
1
2，
∴f(−
1
2) ＜f(ak)＜f(0)．
又f（0）=2，f(−
1
2) ＝
5
2−ln2＝
3
2+1−ln2＞
2，
∴当n=k+1时，不等式−
1
2＜an＜0也成立．
由①，②可知，−
1
2＜an＜0对于任意n∈N^*都成立．
（2）21+ak+1−21+ak＝f(an)−21+ak
令g（x）=f（x）-2^1+x，
则g′（x）=f′（x）-2^1+xln2=（1-4^x）ln4-2^xln4=（-4^x-2^x+1）ln4．
∵-t²-t+1=0时，t＝

点评：
本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查数列和不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．