如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．

解题思路：法一：（Ⅰ）要证A1C⊥平面BED，只需证明A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直；（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H，说明∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角，然后解三角形，求二面角A1-DE-B的大小．法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出A1C•DB＝0，A1C•DE＝0，证明A1C⊥平面DBE．（Ⅱ）求出 平面DA1E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A1-DE-B的大小．

解法一：
依题设知AB=2，CE=1．
（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A₁C．（3分）
在平面A₁CA内，连接EF交A₁C于点G，
由于
AA1
FC＝
AC
CE＝2
2，
故Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C=∠CFE，∠CFE与∠FCA₁互余．
于是A₁C⊥EF．A₁C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以A₁C⊥平面BED．（6分）
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A₁H．由三垂线定理知A₁H⊥DE，
故∠A₁HG是二面角A₁-DE-B的平面角．（8分）
EF＝
CF2+CE2＝
3，CG＝
CE×CF
EF＝

2

3，EG＝
CE2−CG2＝

3
3．[EG/EF＝
1
3]，GH＝
1
3×
EF×FD
DE＝

2

15．
又A1C＝
A
A21+AC2＝2
6，A1G＝A1C−CG＝
5
6
3．tan∠A1HG＝
A1G
HG＝5
5．
所以二面角A₁-DE-B的大小为arctan5
5．（（12分））
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．


DE＝(0，2，1)，

DB＝(2，2，0)，

A1C＝(−2，2，−4)，

DA1＝(2，0，4)．（3分）
（Ⅰ）因为

A1C•

DB＝0，

A1C•

DE＝0，
故A₁C⊥BD，A₁C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A₁C⊥平面DBE．（6分）
（Ⅱ）设向量

n=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，则n⊥

DE，n⊥

DA1．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，则z=-2，x=4，

n=（4，1，-2）．（9分）＜

n，

A1C＞等于二面角A₁-DE-B的平面角，cos＜

n，

A1C＝＞


n•

A1C
|

n||

A1C|＝

14
42
所以二面角A₁-DE-B的大小为arccos

14
42．（12分）

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．