（2006•山西）如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0），点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C．

（2006•山西）如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0），点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点

C．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式；
（4）设点M是抛物线上任意一点，过点M作MN⊥y轴，交y轴于点N．若在线段AB上有且只有一点P，使∠MPN为直角，求点M的坐标．

颜颜和郭郭 1年前已收到1个回答举报

phar 幼苗

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解题思路：（1）已知了A、B的坐标，即可求出OA、OB的长，根据相交弦定理的推论即可求出OC的长，也就求出了C点的坐标．
（2）已知了三点的坐标，可用待定系数法求抛物线的解析式．
（3）要使四边形BOCD为直角梯形，那么CD∥OB，直线CD与抛物线的交点即为D点．根据抛物线的对称性即可得出D点的坐标．然后用待定系数法求出直线BD的解析式．
（4）已知在线段AB上有且只有一点使∠MPN为直角，如果以MN为直径作圆，那么P点必为圆和线段AB的切点．而MN∥x轴，因此三角形MPN是等腰直角三角形，因此M点的横坐标为纵坐标绝对值的2倍，然后分M在x轴上方或x轴下方两种情况分别代入抛物线的解析式中进行求解即可．

（1）C点的坐标为（0，2）；理由如下：如图，连接AC，CB．依相交弦定理的推论可得OC2=OA•OB，解得OC=2．故C点的坐标为（0，2）．（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4）．把点C（0，2）的坐标代入上式得a=-12．∴...

点评：
本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题考查了相交弦定理、二次函数解析式的确定、梯形的判定和性质、圆周角定理等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

1年前

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