在正方形ABCD的对角线AC、BD相较于O,点O是正方形A＇B＇C＇D＇的一个顶点.如果两个正方形的边长相等,那么

考虑到对称性,只需要考虑两个正方形的重叠部分在△ABC内（含边界）就可以了.
一、当A′B′、A′D′分别与射线OA、OB重合时,重叠部分为△OAB.
　　∴此时重叠部分面积＝△OAB面积＝（1/4）ABCD的面积.
二、当A′B′、A′D′分别与射线OB、OC重合时,重叠部分为△OBC.
　　∴此时重叠部分面积＝△OBC面积＝（1/4）ABCD的面积.
三、当A′B′、A′D′分别与AB、BC相交时,令交点分别为E、F.
　　过O（A′）作OM⊥AB交AB于M、作ON⊥BC交BC于N.
　　∵ABCD是正方形,∴△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,且O是AC的中点.
　　∵OM⊥AB、ON⊥BC,∴OM、ON都是△ABC的中位线,∴OM＝BC/2、ON＝AB/2.
　　显然有：AB＝BC、BM⊥BN,∴OM＝ON.
　　由OM＝ON、BM⊥BN、OM⊥BM、ON⊥BN,得：OMBN是正方形,
　　∴OMBN的面积＝OM^2＝（BC/2）^2＝（1/4）BC^2＝（1/4）ABCD的面积.
1、当E、F分别与M、N重合时,重叠部分就是正方形OMBN.
　　∴此时有：OMBN的面积＝（1/4）ABCD的面积.
2、当E、F不与M、N重合时
　　显然有：OE⊥OF、BE⊥BF,∴O、E、B、F共圆,∴∠OEM＝∠OFN.
　　由OM＝ON、∠OME＝∠ONF＝90°、∠OEM＝∠OFN,得：△OEM≌△OFN,
　　∴重叠部分OEBF的面积＝OMBN的面积＝（1/4）ABCD的面积.
综上所述,得：
无论正方形A′B′C′D′绕点O怎样旋转,两正方形重叠部分的面积都是一个正方形面积的四分之一.