选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a（其中a＞0）．（1）当a=4时，求不等式的

解题思路：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化简f（x）=|2x+1|-|x-1|的解析式，求出f（x）的最小值为−

3

2

，则由 log2a≥−

3

2

，解得实数a的取值范围．

（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，当x＜−
1
2时，不等式为-x-2≤2，解得−4≤x＜−
1
2．（1分）
当−
1
2≤x≤1时，不等式为 3x≤2，解得−
1
2≤x≤
2
3．（2分） 当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．（3分）
综上，不等式的解集为{x|−4≤x≤
2
3}．（5分）
（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|-|x-1|=

−x−2 ，x＜−
1
2
3x ，−
1
2≤x≤1
x+2，x＞1，
故f(x)∈[−
3
2，+∞)，即f（x）的最小值为−
3
2．（8分）
所以，当f（x）≤log₂a有解，则有 log2a≥−
3
2，解得a≥

2
4，即a的取值范围是[

2
4，+∞)．（10分）

点评：
本题考点： 绝对值不等式的解法．

考点点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．