19名乒乓球运动员分成三队，每队若干名队员，进行单打比赛，规定同队的运动员彼此之间不比赛，不同队的运动员两两比赛一盘，那

解题思路：设3个队为甲、乙、丙．等量关系为：各个队的人数之和为19，甲队的人数×乙队人数+乙队人数×丙队人数+甲队人数×乙队人数=总盘数，把相关数值代入，采用试的方法让x为1到17里面的任意数，求得正整数解即可．

设3个队分别为甲、乙、丙．甲队的人数为x，乙队的人数为y人，丙队的人数为z人，总盘数为m，由题意，得


x+y+z＝19①
xy+yz+xz＝m②
由①得y+z=19-x，
由②得x（y+z）+yz=m，
x（19-x）+yz=m．
当x=1时，yz最大=9×9=81，则m=99；
当x=2时，yz最大=8×9=72，则m=106；
当x=3时，yz最大=8×8=64，则m=112；
当x=4时，yz最大=8×7=56，则m=116；
当x=5时，yz最大=7×7=49，则m=119；
当x=6时，yz最大=7×6=42，则m=120；
当x=7时，yz最大=6×6=36，则m=120；
当x=8时，yz最大=5×6=30，则m=118；
当x=9时，yz最大=5×5=25，则m=115；
当x=10时，yz最大=4×5=20，则m=110；
当x=11时，yz最大=4×4=16，则m=104；
当x=12时，yz最大=3×4=12，则m=96；
当x=13时，yz最大=3×3=9，则m=87；
当x=14时，yz最大=2×3=6，则m=76；
当x=15时，yz最大=2×2=4，则m=64；
当x=16时，yz最大=1×2=2，则m=50；
当x=17时，yz最大=1×1=1，则m=35．
综上所述：m的最大值为：120．故比赛的总盘数最多是120盘．
故答案为：120．

点评：
本题考点： 应用类问题．

考点点评： 考查三元一次方程组的应用；根据人数和总场数得到2个等量关系是解决本题的关键；判断出正整数解是解决本题的难点．