波拉契亚数列{F }：1,1,2,3,5,8,13,21,……,已知其中连续两项的平方和还是该数列中的项,则第2013项

由通项公式是F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
令a=(1+√5)/2 b=(1-√5)/2
则有：F(n)=（√5/5)*(a^n - b^n)
ab=(1+√5)/2*(1-√5)/2=-1
(√5/5)*(1+a^2)=(√5/5)*(5+√5)/2=(1+√5)/2 =a
(√5/5)*(1+b^2)=(√5/5)*(5-√5)/2=(√5-1)/2 =-b
那么：
F(n)^2+F(n+1)^2={(√5/5)*(a^n - b^n)}^2+{(√5/5)*[a^(n+1) - b^(n+1)]}^2
=(√5/5)^2*{a^(2n)-2*(-1)^n+b^(2n)+a^[2(n+1)]-2*(-1)^(n+1)+b^[2(n+1)]}
=(√5/5)^2*{a^(2n)+a^[2(n+1)]+b^(2n)+b^[2(n+1)]}
=(√5/5)*{a^(2n)*(√5/5)*(1+a^2)+b^(2n)*(√5/5)*(1+b^2)}
=(√5/5)*{a^(2n)*a+b^(2n)*(-b)}
=(√5/5)*{a^(2n+1)-b^(2n+1)}
=F(2n+1)
=F[(n)+(n+1)]
所以第2013项的平方与第2014项的平方的和是该数列的第2013+2014=4027项
所给A、B、C、D选项都不是.