如图所示，在直四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB 1 上一点．

（1）证明：由直四棱柱，得BB ₁ ∥DD ₁ ，且BB ₁ =DD ₁ ，
所以，BB ₁ D ₁ D是平行四边形，
所以，B ₁ D ₁ ∥BD，
而BD 平面A ₁ BD，B ₁ D ₁ 平面A ₁ BD，
所以B ₁ D ₁ ∥平面A ₁ BD．
（2）证明：因为BB ₁ ⊥面ABCD，AC 面ABCD，
所以BB ₁ ⊥AC，
又因为BD⊥AC，且BD∩BB ₁ =B，
所以，AC⊥面BB ₁ D，
而MD 面BB ₁ D，
所以MD⊥AC．
（3）当点M为棱BB ₁ 的中点时，平面DMC ₁ ⊥平面CC ₁ D ₁ D，
取DC的中点N，D ₁ C ₁ 的中点N ₁ ，
连结NN ₁ 交DC ₁ 于O，连结OM，
因为N是DC中点，BD=BC，
所以，BN⊥DC；
又因为DC是面ABCD与 面DCC ₁ D ₁ 的交线，
而面ABCD⊥面DCC ₁ D ₁ ，
所以，BN⊥面DCC ₁ D ₁ ，
又可证得，O是NN ₁ 的中点，
所以，BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，
所以，BN∥OM，
所以，OM⊥平面CC ₁ D ₁ D，
因为OM 面DMC ₁ ，
所以，平面DMC ₁ ⊥平面CC ₁ D ₁ D．