椭球面S1是椭圆x24+y23＝1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点（4，0）且与椭圆x24+y23＝1相切的直线绕x轴旋

（I）S₁的方程为：
x2
4+
y2+z2
3＝1．
设过点（4，0）且与椭圆
x2
4+
y2
3＝1相切的直线L为：y=k（x-4），
与椭圆方程联立，可得 （4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．
由判别式△=0 可得k²=[1/4]，故 k=±
1
2．
所以直线L的方程为：y=±(
1
2x−2)．
所以S₂的方程为 y2+z2＝(
1
2x−2)2．
（II）记L₁：y=[1/2]x-2，注意到椭圆方程
x2
4+
y2
3＝1，记 y₂=
3(1−
x2
4)．
由旋转体的体积计算公式可得，S₁与S₂之间的立体体积为
V=
∫41 π
y21 dx-
∫21π
y22 dx
=
π ∫41(
1
2x−2)2dx-3π
∫ 21(1 −
x2
4) dx
=[2π/3(
1
2x−2)3
|41]-3π(x −
x3
12)
|21
=[9π/4]-[5π/4]
=π．

点评：
本题考点： 立体体积的计算；旋转体的体积及侧面积的计算；旋转曲面的方程及其图形．

考点点评： 本题计算量偏大，且综合性较强．考察了旋转曲面的方程以及图形、旋转体的体积计算公式等知识点．