定义在区间（0，+∞）上的函数f （x）满足：（1）f（x）不恒为零；（2）对任意a∈R+，b∈R，都有f（a
定义在区间（0，+∞）上的函数f （x）满足：（1）f（x）不恒为零；（2）对任意a∈R+，b∈R，都有f（ab）=bf（a）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证方程f（x）=0有且只有一个实数根；
（Ⅲ）若f（2）＞0，试证f（x）是（0，+∞）上的增函数．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证方程f（x）=0有且只有一个实数根；
（Ⅲ）若f（2）＞0，试证f（x）是（0，+∞）上的增函数．
赞 cornscn 春芽
共回答了12个问题采纳率：100% 举报
解题思路：（Ⅰ）依题意，令a=1，b=2，即可求得f（1）的值；
（Ⅱ）由（1）知，存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）≠0，任取x1∈（0，+∞）且x1≠1，结合题意即可证得方程f（x）=0有且只有一个实数根；
（Ⅲ）对任意的0＜x1＜x2＜+∞，存在实数p1，p2，使得x1=2p1，x2=2p2，且p1＜p2，作差判断即可证得结论．
（Ⅱ）由（1）知，存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）≠0，任取x1∈（0，+∞）且x1≠1，结合题意即可证得方程f（x）=0有且只有一个实数根；
（Ⅲ）对任意的0＜x1＜x2＜+∞，存在实数p1，p2，使得x1=2p1，x2=2p2，且p1＜p2，作差判断即可证得结论．
（Ⅰ）∵f （ab）=bf （a），令a=1，b=2，∴f （1）=f （12）=2f （1），∴f （1）=0．（3分）（Ⅱ）证明：由（1）知，存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）≠0，显然x0≠1．任取x1...
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．
1年前
3
可能相似的问题
-
1年前1个回答
-
1年前1个回答
你能帮帮他们吗