（2013•松江区二模）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．

解题思路：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c，即可得解；
（2）过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，根据点A、B的坐标求出OA、OC、BC的长，再利用勾股定理列式求出OB，然后求出△AOD和△OBC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AD、OD然后求出BD，再根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解；
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后根据直线与抛物线的解析式设出点M、N得到坐标并表示出MN，再根据平行四边形对边相等列式方程求解即可．

（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），
∴

c＝1
−16+4b+c＝3，
解得

b＝
9
2
c＝1，
所以，抛物线的函数解析式为y=-x²+[9/2]x+1；

（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，
∵A（0，1），B （4，3），
∴OA=1，OC=4，BC=3，
根据勾股定理，OB=
OC2+BC2=
42+32=5，
∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠OAD=∠BOC，
又∵∠ADO=∠OCB=90°，
∴△AOD∽△OBC，
∴[OA/OB]=[OD/BC]=[AD/OC]，
即[1/5]=[OD/3]=[AD/4]，
解得OD=[3/5]，AD=[4/5]，
∴BD=OB-OD=5-[3/5]=[22/5]，
∴tan∠ABO=[AD/BD]=

4
5

22
5=[2/11]；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
则

b＝1
4k+b＝3，
解得

k＝
1
2
b＝1，
所以，直线AB的解析式为y=[1/2]x+1，
设点M（a，-a²+[9/2]a+1），N（a，[1/2]a+1），
则MN=-a²+[9/2]a+1-[1/2]a-1=-a²+4a，
∵四边形MNCB为平行四边形，
∴MN=BC，
∴-a²+4a=3，
整理得，a²-4a+3=0，
解得a₁=1，a₂=3，
∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=-

9
2
2×(−1)=[9/4]，
∴a=1，
∴-1²+[9/2]×1+1=[9/2]，
∴点M的坐标为（1，[9/2]）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形的判定与 性质，锐角三角函数，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合性较强，但难度不大，（2）作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，（3）表示出MN的长是解题的关键．