一道关于指数分布的题,概率学好的麻烦进来帮帮忙
一道关于指数分布的题,概率学好的麻烦进来帮帮忙
某新品种灯泡的损坏时间可以用指数分布来解释.
(a).某部分的可依赖性可以被认为是“这部分在某段时间内将不会损坏”.那如果说,此新品种灯泡的可依赖性在第10.5周为0.9,那请问在第10周时,它的可依赖性为多少?
(b).100个新品种的灯泡被放到了某家店里.所有损坏的灯泡都会在20周里被重新更换为新的了,除此之外将不会被换新.假设R为在20周内被换新的灯泡,请求出R的中项（mean）,和方差（Variance）.
英文原题为：
The time of failure of a new type of light bulb is thought to have an exponential distribution.
(a) The reliability of a component is defined as the probability that the component will not have failed by a specified time.If the reliability of this type of light bulb at 10.5 weeks is 0.9,find the reliability at 10 weeks.
(b) One hundred light bulbs of this type are put in a new shop.All light bulbs that have failed are replaced at 20 week intervals and none are replaced at other times.If R is the number of light-bulbs that have to be replaced at the end of the first interval,find the mean and variance of R.Explain why this result holds for any such interval,and not just the first.
某新品种灯泡的损坏时间可以用指数分布来解释.
(a).某部分的可依赖性可以被认为是“这部分在某段时间内将不会损坏”.那如果说,此新品种灯泡的可依赖性在第10.5周为0.9,那请问在第10周时,它的可依赖性为多少?
(b).100个新品种的灯泡被放到了某家店里.所有损坏的灯泡都会在20周里被重新更换为新的了,除此之外将不会被换新.假设R为在20周内被换新的灯泡,请求出R的中项（mean）,和方差（Variance）.
英文原题为：
The time of failure of a new type of light bulb is thought to have an exponential distribution.
(a) The reliability of a component is defined as the probability that the component will not have failed by a specified time.If the reliability of this type of light bulb at 10.5 weeks is 0.9,find the reliability at 10 weeks.
(b) One hundred light bulbs of this type are put in a new shop.All light bulbs that have failed are replaced at 20 week intervals and none are replaced at other times.If R is the number of light-bulbs that have to be replaced at the end of the first interval,find the mean and variance of R.Explain why this result holds for any such interval,and not just the first.
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a)
依赖性不是很恰当,
应解释为可靠性
按照以往解题经验,我理解为“灯泡寿命>10.5周的概率为0.9”
（电气设备常用指数分布评估其可靠性,因此本题采用的分布是合理的）
服从指数分布
X~E(λ)
=>
F(t)=P{T≤t}=1-e^(-λ*t)——(t>0)
=>
P{T≥10.5}=1-F(10.5)=1-(1-e^(-λ*10.5))=0.9
=>
e^(-10.5λ)=0.9
=>
-10.5λ=ln0.9=-0.10536
=>
λ=0.01
=>
P{T≥10}=1-F(10)=1-(1-e^(-0.01*10))=0.904837
b)
第二题你的翻译有错：
at 20 week intervals
不是说超过20就不换了
应解释为：每隔20周换一次
所以第二小问
Explain why...是要考查你对的指数函数无记忆性的理解
或者说,前面的小问的答案不仅适用于第一周,也适用于所有周期
具体解法如下：
对于每个灯泡来说：
P(X>20)=e^(-0.01*20)=0.81873
这样：题目可以理解为一个二项分布,具体这样理解
在第20周时,检查所有灯泡,统计坏的数量：
1）一百只灯泡进行100重伯努利实验
2）每只结果只有坏和不坏
3）每次不坏概率相同均为0.81873
用X表示不坏的个数,则二项分布概率满足：
P(X=x)=C(x,100)0.81873^x*(1-0.81873)^(100-x)
E(X)=np=100*0.81873=81.873
=>
R=100-E(X)=18
D=np(1-p)=100*0.81873*(1-0.81873)=14.84
Explain why...要证明的就是无记忆性
需证明：P(X>s+t|X>s)=P(X>t)
P(X>s+t|X>s)
=P(X>s+t)/P(X>s)
=e^(-λ(s+t))/e^(-λs)
=e^(-λt)
=P(X>t)
证毕
此题中,t=20
单个灯泡的p不随s变,那么
对于整体100个来说
s周到s+20周的E与D的结果是与1到20（前面算的答案）必然一致
也就是for any such interval均成立
依赖性不是很恰当,
应解释为可靠性
按照以往解题经验,我理解为“灯泡寿命>10.5周的概率为0.9”
（电气设备常用指数分布评估其可靠性,因此本题采用的分布是合理的）
服从指数分布
X~E(λ)
=>
F(t)=P{T≤t}=1-e^(-λ*t)——(t>0)
=>
P{T≥10.5}=1-F(10.5)=1-(1-e^(-λ*10.5))=0.9
=>
e^(-10.5λ)=0.9
=>
-10.5λ=ln0.9=-0.10536
=>
λ=0.01
=>
P{T≥10}=1-F(10)=1-(1-e^(-0.01*10))=0.904837
b)
第二题你的翻译有错：
at 20 week intervals
不是说超过20就不换了
应解释为：每隔20周换一次
所以第二小问
Explain why...是要考查你对的指数函数无记忆性的理解
或者说,前面的小问的答案不仅适用于第一周,也适用于所有周期
具体解法如下：
对于每个灯泡来说：
P(X>20)=e^(-0.01*20)=0.81873
这样：题目可以理解为一个二项分布,具体这样理解
在第20周时,检查所有灯泡,统计坏的数量：
1）一百只灯泡进行100重伯努利实验
2）每只结果只有坏和不坏
3）每次不坏概率相同均为0.81873
用X表示不坏的个数,则二项分布概率满足：
P(X=x)=C(x,100)0.81873^x*(1-0.81873)^(100-x)
E(X)=np=100*0.81873=81.873
=>
R=100-E(X)=18
D=np(1-p)=100*0.81873*(1-0.81873)=14.84
Explain why...要证明的就是无记忆性
需证明：P(X>s+t|X>s)=P(X>t)
P(X>s+t|X>s)
=P(X>s+t)/P(X>s)
=e^(-λ(s+t))/e^(-λs)
=e^(-λt)
=P(X>t)
证毕
此题中,t=20
单个灯泡的p不随s变,那么
对于整体100个来说
s周到s+20周的E与D的结果是与1到20（前面算的答案）必然一致
也就是for any such interval均成立
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