已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD=16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ADB，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠BEP=∠DFP=90°，
∴△PBE∽△PDF；

（2）如图1，连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，
则FM⊥BC，
∵菱形ABCD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵PM⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PM，
∴PE+PF=PM+PF=FM，
在直角三角形AOB中，BO=[1/2]BD=8，
∴AO=
AB2−BO2=
102−82=6，
∴AC=2AO=12，
∵S_菱形ABCD=[1/2]AC•BD=BC•FM，
∴FM=[48/5]，
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值，
所以当CP⊥BD时，即P和O重合时，PC最小，此时BP=BO=[1/2]BD=8．

（3）①过P作PG⊥BC于G，设PB=x，当P在线段BO上时，PO=8-x，PG=[3/5]x，
如图2、当PO=PG时，⊙P与直线BC相切，8-x=[3/5]x，x=5；
如图3、当OP=PB时，⊙P经过B点，8-x=x，x=4，
即当0＜x≤4或x=5时，⊙P与线段BC有一个公共点，
∴⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围是0＜BP≤4或BP=5时；
②由①知：当4＜x＜5时，⊙P与线段BC有两个公共点，
当P在线段OD上时，PO=x-8，PG=[3/5]x，
当PO=PG时，⊙P与直线BC相切，x-8=[3/5]x，
x=20＞BD，
即此时⊙P不可能与直线BC相切，更不可能相交，
综合所述，4＜BP＜5时，⊙P与直线BC有两个公共点，
即⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围是4＜BP＜5．

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题考查了切线的判定，直线与圆的位置关系，解一元一次方程等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，注意：要进行分类讨论啊．