能提供些初二下学期勾股定理和平行四边形的极难的证明题吗?

平行四边形：
1.题目：如图,在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P,求证：∠BPM=45°
图：（不太准确..）

答案：
答案：如图,过点M作ME∥＝（平行等于）AN,连NE,BE,则四边形AMEN为平行四边形
得NE=AM,ME⊥BC
∵ME=CM,∠EMB=∠MCA=90°,BM=AC
∴△BEM≌△AMC,得BE=AM=NE,∠1=∠2,∠3=∠4
∵∠1+∠3=90°
∴∠2+∠4=90°且BE=NE
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45°
∵AM∥NE
∴∠BPM=∠BNE=45°

勾股定理
1.（这道题目十分经典...）


题目：如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,求证：BD²=AB²+BC²


图：

答案：如图,以BC为边向外作等边三角形BCE,即BC=BE=CE,连接AE
∵∠ADC=60°且AD=CD
∴△ACD为等边三角形 即DC=CA=AD


那么∠BCD=∠EBC=∠CEB=60°,∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°
则AE²=AB²+BE²=AB²+BC²,
易证△BDC≌△EAC,得BD=AE,故BD²=AB²+BC²