（2014•余姚市模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（3，m）到焦点F的距离为4．
（2014•余姚市模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（3，m）到焦点F的距离为4．（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（Ⅰ）由抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出p，从而得到方程；（Ⅱ）求出焦点和准线，设出直线AB，联立方程，消去x得到y的方程，运用韦达定理，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-1，t），运用斜率公式，化简整理，注意点在抛物线上，且全部转化为y的式子，即可判断．
（I）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（[p/2]，0），准线为x=−
p
2，
由抛物线的定义可知：4=3+
p
2，p=2
∴抛物线方程为y2=4x；
（II）由于抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=-1，
设直线AB：x=my+1，与y2=4x联立，消去x，整理得：
y2-4my-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-1，t），有
y1+y2＝4m
y1y2＝−4
易知k3＝−
t
2，而k1+k2＝
y1−t
x1+1+
y2−t
x2+1
=
(x2+1)(y1−t)+(x1+1)(y2−t)
(x1+1)(x2+1)=
(
y22
4+1)(y1−t)+(
y21
4+1)(y2−t)
(
y21
4+1)(
y22
4+1)
=
−t(4m2+4)
4m2+4＝−t=2k3
∴存在实数λ=2，使得k1+k2=λk3恒成立．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．
考点点评： 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义、性质和方程，同时考查联立方程，运用韦达定理，运用斜率公式，考查运算化简能力，是一道中档题．
1年前
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