已知二次函数f（x）=ax2+bx+1的导函数为f′（x），f′（0）＞0，f（x）与x轴恰有一个交点，则f(1)f′(

解题思路：首先对f（x）求导，得出f′（x）=2ax+b，再利用f′（0）＞0，可得出b＞0；利用f（x）与x轴恰有一个交点，可得出△=0，得到a与b的关系式，即可用a表示b，从而得出

f(1)

f′(0)

的关于b表达式，再利用基本不等式即可求出其最小值．

∵f（x）=ax²+bx+1，∴f′（x）=2ax+b，∴f^′（0）=b，又f′（0）＞0，∴b＞0．
又已知f（x）与x轴恰有一个交点，∴△=b²-4a=0，∴a=
b2
4，
∴f（1）=a+b+1=
b2
4+b+1．
∴
f(1)
f′(0)=

b2
4+b+1
b＝
b
4+
1
b+1≥2

b
4×
1
b+1=1+1=2．当且仅当[b/4＝
1
b]，即b=2时取等号，
∴最小值为2．
故答案为2．

点评：
本题考点： 导数的运算；函数的零点．

考点点评： 本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式，熟练掌握它们的性质及使用方法是解决问题的关键，此题为中档题．