设f（x）=x 3 ，等差数列{a n }中a 3 =7，a 1 +a 2 +a 3 =12，记S n = f( 3 a

（Ⅰ）设数列{a _n }的公差为d，由a ₃ =a ₁ +2d=7，a ₁ +a ₂ +a ₃ =3a ₁ +3d=12．
解得a ₁ =1，d=3∴a _n =3n-2
∵f（x）=x ³ ∴S _n = f(
3 a n+1
) =a _n+1 =3n+1．
（Ⅱ）b _n =a _n S _n =（3n-2）（3n+1）
∴
1
b n =
1
(3n-2)(3n+1) =
1
3 (
1
3n-2 -
1
3n+1 ) ∴ T n =
1
3 (1-
1
3n+1 )＜
1
3
（Ⅲ）由（2）知， T n =
n
3n+1 ∴ T 1 =
1
4 ， T m =
m
3m+1 ， T n =
n
3n+1 ∵T ₁ ，T _m ，T _n 成等比数列．
∴ (
m
3m+1 ) 2 =
1
4
n
3n+1 即
6m+1
m 2 =
3n+4
n
当m=1时，7=
3n+4
n ，n=1，不合题意；当m=2时，
13
4 =
3n+4
n ，n=16，符合题意；
当m=3时，
19
9 =
3n+4
n ，n无正整数解；当m=4时，
25
16 =
3n+4
n ，n无正整数解；
当m=5时，
31
25 =
3n+4
n ，n无正整数解；当m=6时，
37
36 =
3n+4
n ，n无正整数解；
当m≥7时，m ² -6m-1=（m-3） ² -10＞0，则
6m+1
m 2 ＜1 ，而
3n+4
n =3+
4
n ＞3 ，
所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T ₁ ，T _m ，T _n 成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T ₁ ，T _m ，T _n 成等比数列．