用拉格朗日定理证明(4)

证明:作函数f(x)=arctanx-arcsin[x/√(1+x)].对 x取导数得
f'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)≡0
※其中[arcsin[x/√(1+x)]'=1/(1+x)的求导过程,在电脑上写起来很麻烦,故省略了.
f(x)的定义域为(-∞,+∞).在此定义域内f(x)连续,可导,因此在其子区间(0,x)
内必连续可导,根据Lagrange中值定理,在(0,x)内必至少存在一点ξ,使
又f(0)=arctan0-arcsin0=0,故有f(x)=arctanx-arcsin[x/√(1+x)]=0,即arctanx=arcsin[1/√(1+x)].故证.