已知函数f（x）=（x-1）ln（x-1）．

解题思路：（1）求出函数g（x）=-a（x-1）+f（x）的导数，判断导函数的单调性，利用函数在区间[2，e²+1]上不单调，列出不等式组，即可求实数a的取值范围；
（2）利用f（x）+x-1-k（x-2）＞0求出k的不等式，利用函数的导数求解新函数在x＞2的最小值，利用恒成立，即可求k的最大值．

（1）g'（x）=-a+1+ln（x-1）在（1，+∞）上递增…（1分）
由已知，有

g′(2)＝−a+1＜0
g′(e2+1)＝−a+3＞0解得1＜a＜3
∴a的取值范围为（1，3）．…（4分）
（2）由题知k＜
(x−1)ln(x−1)+x−1
x−2对x＞2恒成立．…（5分）
令u（x）=
(x−1)ln(x−1)+x−1
x−2则u'（x）=
−ln(x−1)+x−3
(x−2)2
令v（x）=-ln（x-1）+x-3v′(x)＝1−
1
x−1＝
x−2
x−1，
∵x＞2∴v'（x）＞0即v（x）在（2，+∞）上递增 …（8分）
又∵v（4）=-ln3+1＜0，v（5）=-2ln2+2＞0
∴∃x₀∈（4，5），使得v（x₀）=0，即u'（x₀）=0
∴u（x）在（4，x₀）上递减，在（x₀，5）上递增．…（10分）
∴[u(x)]min＝u(x0)＝
(x0−1)ln(x0−1)+(x0−1)
x0−2=
(x0−1)(x0−3)+(x0−1)
x0−2＝x0−1∈(3，4)
k＜[u（x）]_min=x₀-1
又∵k∈Z，∴k的最大值为3．…（12分）

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的导数的应用，函数的极值，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度较大．