等腰直角三角形ABC和DBE底边上的中点分别为N和P,M是AD的中点.证明：MN=MP,且MN⊥MP.

证明：连接AN,PD,PN,DN
延长NM到Q,使得NM=MQ
连接AQ,DQ,PQ
由AM=MD,NM=MQ知ANDQ为平行四边形
（对角线相互平分的四边形是平行四边形）
则DQ=AN.①
又△ABC,△BDE是等腰直角三角形,
且N,P是它们底边上的中点
故AN=NB,DP=BP.②
由①②知NB=QD,BP=DP.(I)
∠QDP
=∠QDN+∠NDB+45°=(∠QAN)+∠NDB+45°
=(∠QAD+∠DAB+45°)+∠NDB+45°
=(∠ADN+∠DAB+45°)+∠NDB+45°
=(∠ADN+∠DAB+∠NDB)+90°
=(180°-∠ABD)+90°
=270°-∠ABD.③
∠NBP=360°-∠ABD-90°=270°-∠ABD.④
由③④知∠NBP=∠QDP.(II)
由(I)(II)知△NBP≌△QDP
∴∠BPN=∠QDP,NP=PQ.(III)
又∠BPQ+∠QDP=90°,故∠BPQ+∠BPN=90°
∴∠NPQ=90°,即△NPQ为直角三角形.(IIII)
由(III)(IIII)知△NPQ为等腰直角三角形
又NM=MQ,即M为等腰Rt△NPQ斜边上的中线
∴MP=MN,且MP⊥MN