定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）为奇函数．

weiwei8028 1年前 已收到2个回答 举报
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xizi0598 春芽

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解题思路：欲证f（x）为奇函数，即证f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，利用题中条件：“f（x+y）=f（x）+f（y），”使用赋值法：分别令x=y=0，得到f（0）的值；令y=-x结合f（0）即可得到f（-x）=-f（x），从而问题解决．

证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，
得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），
得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有
0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函数．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的性质、抽象函数的奇偶性．函数虽然抽象，但我们必须掌握其基本方法，结合定义，使用赋值法．

1年前

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marko_168 幼苗

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令x=y=1，所以f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0
令x=y=-1，所以f(1)=f(-1)+f(-1)，所以2f(-1)=0，所以f(-1)=0
f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x)，所以f(x)为偶函数

1年前

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