如图，一把“T型”尺（图1），其中MN⊥OP，将这把“T型”尺放置于矩形ABCD中（其中AB=4，AD=5），使边OP始

解题思路：（1）线段BE与OE的长度相等，如图，连接AE，在△ABE与△AOE中，已知条件可以证明它们全等，然后利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）延长AO交BC于点T，由于△CEF是等腰直角三角形，由此可以得到△OET与△ABT均为等腰直角三角形，而在△ABT中，AB=4，利用勾股定理即可求出AT，然后可以求出线段BE的长；
（3）在BC上取点H，使BH=BA=4，过点H作AB的平行线，交EF、AD于点K、L，如图，根据已知条件可以证明四边形ABHL为正方形，然后得到KL=KO，令HK=a，则在△HEK中，EH=4-x，EK=x+4-a，利用勾股定理可以求出用x表示的a的值，又HL∥AB，根据平行线的性质可以求出函数关系式；要求BE的最大值，则当点F和点D重合，根据勾股定理求得OF=3，设BE=OE=x，在直角三角形CEF中，根据勾股定理列方程即可求解．

（1）线段BE与OE的长度相等
如图，连接AE，在△ABE与△AOE中，
∵OA=AB，AE=AE，∠ABE=∠AOE=90°，
∴△ABE≌△AOE，
∴BE=OE；


（2）延长AO交BC于点T，
∵∠OEC=∠OEC，∠EOT=∠C=90°，
∴△OET∽△CEF，
同理，∵∠ATB=∠ATB，∠EOT=∠ABT=90°，
∴△OET∽△BAT，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴△OET与△ABT均为等腰直角三角形，
于是在△ABT中，AB=4，则AT=
AB2+BT2=
42+42=4
2，
∴BE=OE=OT=4
2−4；

（3）在BC上取点H，使BH=BA=4，过点H作AB的平行线，
交EF、AD于点K、L，（如图）
∴四边形ABHL为正方形
由（1）可知KL=KO，
令HK=a，则在△HEK中，EH=4-x，EK=x+4-a
∴（4-x）²+a²=（x+4-a）²，
化简得：a＝
8x
4+x，
又HL∥AB，
∴[y/a＝
EC
EH＝
5−x
4−x]，即y＝
40x−8x2
16−x2，
∴函数关系式为y＝
40x−8x2
16−x2，
BE的最小值应大于0，最大值即当点F和点D重合，根据勾股定理求得OF=3．
设BE=OE=x，在直角三角形CEF中，根据勾股定理，得
（3+x）²=（5-x）²+16，
解得x=2．
所以定义域，即x的取值范围为0＜x≤2．

点评：
本题考点： 勾股定理；全等三角形的判定．

考点点评： 此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、然后把求函数关系式放到这个复杂的几何图形中，所以综合性很强，能力要求比较高，对于以上所有知识必须很熟练才能好的解决问题．