如图组合体中，三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 的侧面ABB 1 A 1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，

（I）因为侧面ABB ₁ A ₁ 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，所以AC⊥BC（2分）


又圆柱母线AA ₁ ⊥平面ABC，BC属于平面ABC，所以AA ₁ ⊥BC，
又AA ₁ ∩AC=A，所以BC⊥平面A ₁ AC，
因为BC⊂平面A ₁ BC，所以平面A ₁ BC⊥平面A ₁ AC；（6分）

（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，
当点C是弧



AB 的中点时，三角形ABC的面积为r ² ，
三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 的体积为r ² h，
三棱锥A ₁ -ABC的体积为
1
3 r 2 h ，
四棱锥A ₁ -BCC ₁ B ₁ 的体积为r ² h-
1
3 r 2 h =
2
3 r 2 h ，（10分）
圆柱的体积为πr ² h，
四棱锥A ₁ -BCC ₁ B ₁ 与圆柱的体积比为2：3π．（12分）