已知函数f（x）是奇函数，存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x1-x2）=f(x1)f(x2)+1f(x2)−f(x

解题思路：（1）令x₁=2a，x₂=a，带入f(x1−x2)＝

f(x1)f(x2)+1

f(x2)−f(x1)

，并根据f（a）=1可求出f（2a）=0；
（2）根据已知条件及f（2a）=0，f（x+2a）=−

1

f(x)

，所以可求出f（x+4a）=f（x），所以便找到了t=4a；
（3）根据单调性的定义任设x₁，x₂∈（0，2a），且x₁＞x₂，再根据条件：f(x1−x2)＝

f(x1)f(x2)+1

f(x2)−f(x1)

即可比较f（x₁），f（x₂）的大小关系，从而证明出函数f（x）在（0，2a）上是减函数．

（1）令x₁=2a，x₂=a得：f（a）=
f(2a)f(a)+1
f(a)−f(2a)；
∵f（a）=1，∴1＝
f(2a)+1
1−f(2a)，解得f（2a）=0；
（2）证明：f（x+2a）=f[x-（-2a）]=
f(x)f(−2a)+1
f(−2a)−f(x)；
∵f（x）是奇函数，f（2a）=0；
∴f（-2a）=-f（2a）=0；
∴f（x+2a）=−
1
f(x)；
∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=−
1
f(x+2a)＝f(x)；
∴存在常数4a＞0，使f（x+4a）=f（x）；
（3）设x₁，x₂∈（0，2a），且x₁＞x₂，则：
f（x₂）-f（x₁）=
f(x1)f(x2)
f(x1−x2)，x₁-x₂∈（0，2a）；
∴根据x∈（0，2a）时，f（x）＞0得：f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁-x₂）＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₁）＜f（x₂）；
∴当x∈（0，2a）时f（x）是减函数．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 考查奇函数的定义，根据函数单调性的定义证明函数的单调性的方法．