函数最值问题设函数f(x)在I上连续（I为有限或无穷区间）,且在I内只有一个极值点x0证明x0必为f(x)的最值点-D

不妨设x0是极值小值点.
那么存在x0某领域O 在O中任意除x0外的点x
都有f(x)>=f(x0).而且必然在这个临域里面存在x1>x0,（就是x1在右半临域）使得这个不等号是严格成立的.即f(x1)>f(x0)
否则,右半领域里面的函数值都相等,都是f(x0)的话,那么每个点都是极值点了,从而矛盾.
现在,对于x>x0,必然有f(x)>=f(x0);
否则设x2>x0,且f(x2)f(x0)=f(x3),那么f在闭区间[x0,x3]中的最大值必然不是在边界取得,而是在内部取得,这个闭区间上的最大值就是除x0以外的另一个极值点,从而矛盾.（如果之前是x1>x2,那么就是x2在这个闭区间里面,那么就是找到最小值）
故对一切x>x0,有f(x)>=f(x0);
类似的对一切x=f(x0)
从而x0是最小值点.

设函数f(x)在 I 上连续（I 为有限或无穷区间），且在 I 内只有一个极值点x0.
不妨设其为极小值点。假设点 x0 处不取得最小值，则 f(x) 必在一点 x1 处取得最小值，
f(x1) 必是函数的极小值，这与 f(x) 在 I 内只有一个极值点x0 矛盾。
故假设错误，即x0必为f(x)的最值点。“则 f(x) 必在一点 x1 处取得最小值”这是不对的 I要是无...

不妨设区间为(a, b)， x0将区间分为(a,x0), (x0,b)左右两个区间，根据题意，这两个区间都为单调区间，因此每个区间的最大最小值都在端点取得。
若x0为极小值点，则
（a,x0) 为单调减，f(x0)为此区间内最小值
(x0,b)为单调增，f(x0)为此区间内最小值
因此f(x0)为整个区间的最小值
若x0为极大值点，则